[CSP-J 2021] 插入排序

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $\mathcal O(1)$，则插入排序可以以 $\mathcal O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：

下面是 C/C++ 的示范代码（保证与题目所描述的算法一致）：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j >= 2; j--)
        if (a[j] < a[j-1])
            swap(a[j], a[j-1]);

为了帮助小 Z 更好地理解插入排序，H 老师留下了这么一道家庭作业：

H 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组下标从 $1$ 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作，操作共两种，参数分别如下：

• 1 x v：这是第一种操作，会将 $a_x$ 修改为 $v$。保证 $1 \le x \le n$，$1 \le v \le 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。
• 2 x：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对数组 $a$ 进行插入排序，需要你输出原来第 $x$ 个元素在排序后的新位置。保证 $1 \le x \le n$。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。

小 Z 并没有学过插入排序，所以他并不会做这个题，只好向你求助。请你编写一个程序，帮助小 Z 完成 H 老师的作业。

输入格式

第一行两个整数 $n, Q$，表示数组长度和操作次数。

第二行 $n$ 个非负整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，表示初始数组。

接下来 $Q$ 行，每行描述一个操作，格式为 1 x v 或 2 x。

输出格式

对于每一个 2 x 操作，输出一行一个整数表示答案。

样例

3 4
3 2 1
2 1
1 3 2
2 1
2 3

2
1
3

样例解释

• 初始数组为 $[3, 2, 1]$。
• 第 1 次操作为 2 1，对初始数组排序后得到 $[1, 2, 3]$。原来第 $1$ 个元素 $3$ 现在在第 $2$ 个位置，输出 $2$。
• 第 2 次操作为 1 3 2，将第 $3$ 个元素修改为 $2$，数组变为 $[3, 2, 2]$。
• 第 3 次操作为 2 1，对当前数组排序后得到 $[2, 2, 3]$。原来第 $1$ 个元素 $3$ 现在在第 $3$ 个位置，输出 $3$。
• 第 4 次操作为 2 3，排序后原来第 $3$ 个元素 $2$ 现在在第 $1$ 个位置（由于相等元素按原顺序，但伪代码中 $a[j] < a[j-1]$ 为严格小于，因此相同元素的相对顺序不变，原第 $2$ 个元素仍在第 $2$ 个，原第 $3$ 个元素在第 $1$ 个），输出 $1$。

数据范围

对于所有数据，$1 \le n \le 8000$，$1 \le Q \le 2 \times 10^5$，$1 \le x \le n$，$1 \le a_i, v \le 10^9$。

附件下载

sort.zip